गणिताची संकल्पना आणि भारतीय गणितज्ञ .

गणित

मोजणी, संरचना, अवकाश आणि बदल या संकल्पनांवर आधारित असलेली आणि त्यांचा अभ्यास करणारी गणित ही ज्ञानाची एक शाखा आहे. गणित हे निरपवाद निष्कर्ष काढण्याचे शास्त्र आहे असे विद्वान मानतात. हे प्रतिमानांचे (पॅटर्न) शास्त्र असून संख्या, अवकाश, विज्ञान, संगणक, अमूर्त कल्पना आणि अशाच काही तत्सम विषयांमध्ये गणिताच्या साह्याने प्रतिमाने शोधता येतात.
नवीन संकल्पना(थिअरी) मांडून तिला, तिच्यातील तथ्ये, मूळवाक्ये आणि व्याख्यांपासून कठोर तर्काद्वारे सिद्ध करण्यासाठी गणिती अशा संकल्पनेचा धांडोळा घेतात.
इतिहास अमूर्तता आणि तर्क यांच्या वापराने मोजणी, आकडेमोड, मापन यांपासून भौतिक जगतातील आकार आणि कृती यांच्या शिस्तबद्ध अभ्यासातून गणितशास्त्र विकसित पावले. गणिताचे ज्ञान व वापर हा नेहेमीच व्यक्ती आणि समाज या दोन्ही पातळींवर जीवनाचा अविभाज्य भाग होता. मूळ कल्पनांचा विकास होतांना प्राचीन भारत, प्राचीन ग्रीस, इजिप्त, मेसोपोटॅमिया, प्राचीन चीन, इत्यादी संस्कृतींमध्ये सापडलेल्या गणितावरील ग्रंथांत दिसून येतो. पाश्चात्य इतिहासलेखकांना गणिताची कठोर तर्कट चालवण्याची पद्धत लिखित स्वरूपात युक्लिडच्या एलिमेंट्स या ग्रंथात सर्वप्रथम मिळाली. सोळाव्या शतकाच्या रेनैसन्स चळवळीच्या काळापर्यंत गणिताचा विकास कमी-अधिक मगदुराने झालेला दिसतो. रेनैसन्स ही एक बौद्धिक चळवळ होती. तिच्यात गणित आणि विज्ञानातील नवीन शोधांची सुयोग्य सांगड यशस्वीरीत्या घालण्यात आली होती. अशा चळवळीमुळे संशोधनाचा वेग वाढण्याचा घटनाक्रम आजवरही अबाधित राहिला आहे.
आज गणित हे विज्ञान, अभियांत्रिकी, औषधशास्त्र, तसेच अर्थशास्त्र आणि समाजशास्त्रासारख्या ज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये जगभर वापरले जाते. या शास्त्रात गणिताचा वापर करणारी गणिताचीच उपयोजित गणित ही शाखा नवीन गणिती शोधांना प्रेरणा देते आणि त्यांचा वापर करते. त्यामुळे ज्ञानाच्या सर्वस्वी नवीन शाखाही उदयास येतांत. कलेसाठी कला या न्यायाने केवळ गणितासाठी गणित अशा ध्येयाने शुद्ध गणिताचा अभ्यास करणारे गणितीही आहेत. अशा शुद्ध गणितातील शोधांचा कालांतराने उपयोजित गणितात वापर कसा करावा त्या पद्धतींचा शोध बहुधा लागतोच.

अनुक्रमणिका

• १ व्युत्पत्ती
• २ इतिहास
• ३ प्रेरणा, शुद्ध व उपयोजित गणित, आणि सौंदर्यशास्त्र
• ४ नोटेशन, भाषा आणि तर्काधिष्ठता
• ५ गणितातला "पाय"(π)
• ६ फर्माचे "शेवटचे प्रमेय"
• ७ प्रसिद्ध गणिती
• ८ हे सुद्धा पहा
• ९ इतर वाचनीय
• १० बाह्य दुवे

व्युत्पत्ती

गणिताशी संबंधित Mathematics या इंग्रजी शब्दाची व्युत्पत्ती ग्रीक भाषेतून तर, मराठीतील गणित या शब्दाची व्युत्पत्ती "गण्" या संस्कृत धातूपासून झाली आहे.गणित म्हणजे ब्रम्हांड समजून घेण्याची भाषा आहे .

इतिहास

गणिताविषयी एक संस्कृत श्लोक असा आहे :
यथा शिखा मयूराणां, नागानां मणयो यथा |
तथा वेदांगशास्त्राणां गणितं मूर्धनि स्थितम् ||
अर्थ: ज्याप्रमाणे मोराचा तुरा त्याच्या शरीराच्या सर्वात वर असतो त्याप्रमाणेच वेदांच्या सर्व अंगांपेक्षा गणित हे सर्वात वर(उच्च) आहे.
mathematics is branch of knowledge which deals study of figure, distance , etc गणिताचा सध्याचा विकास अमूर्त संकल्पनांच्या चढत्या भाजणीतून किंवा विषयाच्या विस्तारातून झाला असे मानता येईल. संख्या ही अमूर्ततेची पहिली पायरी होय. दोन संत्री आणि दोन सफरचंदांमध्ये (दोनत्वाचे)काहीतरी साम्य आहे सुद्धा मानवी प्रज्ञेची महत्त्वाची उडी होती. भौतिक वस्तूंची मोजदाद करण्याशिवाय प्राचीन लोकांना काळासारख्या अमूर्त कल्पना (जसे दिवस, महिने वर्ष) कसे मोजावे याचेही ज्ञान होते. अर्थातच बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार यांसारख्या मूलभूत अंकगणिती क्रिया येणे क्रमप्राप्तच होते. प्राचीन काळातील भव्य वास्तू पूर्वजांच्या भूमितीच्या ज्ञानाची साक्ष देतात.
गणिताच्या अधिक प्रगतीसाठी लेखनाची किंवा संख्यांची नोंद करण्याची पद्धतीची गरज पडली. पडताळ्याच्या रेघा किंवा इंका साम्राज्यातील क्विपू नावाच्या गाठ मारलेल्या दोऱ्या वापरून संख्यात्मक माहितीची नोंदी ठेवल्या जात होत्या. जगभर विविध संख्यापद्धती प्रचलित होत्या.
लिखित इतिहासाच्या प्रारंभापासूनच कर आणि वाणिज्याशी संबंधित व्यवहारांची आकडेमोड करण्यासाठी, संख्यांचा परस्परसंबंध समजण्यासाठी, जमिनीची मोजणी करण्यासाठी आणि खगोलीय घटनांचा वेध घेण्यासाठी गणिताची निकड भासली. यावरूनच मोजणी, संरचना, अवकाश आणि बदल यांच्या अभ्यासांचा गणिताच्या शाखांशी स्थूलरूपाने संबंध जोडता येतो.
विज्ञान आणि गणित यांचा एकमेकांशी परस्परपोषक असा संबंध असल्याने असून हल्लीचे गणित अतिशय विकसित आहे. ऐतिहासिक काळापासूनच गणितात विविध शोध लागले आणि हे चक्र सुरूच आहे.
अमेरिकन गणिती संघटनेच्या जानेवारी २००६ च्या वार्तापत्रातील मिखाईल बी. सेव्हरिक यांच्या लेखानुसार, संघटनेच्या मॅथॅमॅटिकल रिव्ह्यू या विदागारात, त्याच्या प्रथम वर्षापासून म्हणजेच इसवी सन १९४० पासून १९ लाख पुस्तके आणि प्रबंध होते. दरवर्षी त्यांत ७५ हजार नवीन रचना जोडल्या जातात. यातील बहुतांश कृती या नवीन प्रमेये आणि त्यांच्या सिद्धान्तांशी संबंधित आहेत.

प्रेरणा, शुद्ध व उपयोजित गणित, आणि सौंदर्यशास्त्र

जेव्हा मोजणी, संरचना, अवकाश आणि बदल यांच्याशी संबंधित क्लिष्ट समस्या उभ्या ठाकतात तेव्हा गणित प्रगटते. प्राचीन काळी जमिनीची मोजणी, कर, खगोलशास्त्र इत्यादींमध्ये या समस्यांची सुरुवात झाली. आज विज्ञानातील सर्व शाखांत निर्माण होणाऱ्या समस्या गणिताच्या वापराने सुटू शकतात. तसेच, खुद्द गणितातही अनेक मनोरंजक समस्या प्रगटतात. अनंताश्रयी कलनाचा शोध लावणाऱ्यांपैकी न्यूटन हा एक मानला जातो. फेनमन पथ कलनाचा शोध फेनमनने भौतिकशास्त्रातील अंतर्दृष्टी आणि तर्काच्या साहाय्याने लावला. सांप्रत काळी भौतिकशास्त्रात, ब्रह्मांडशास्त्राशी संबंधित तंतुसिद्धान्तामुळे गणितात नवनिर्मिती होत आहे. गणिताचा काही भाग हा एखाद्या विशिष्ट शाखेशीच निगडित असतो आणि तेथेच त्याचा वापर होतो. परंतु, बहुतेक वेळा ज्ञानाच्या एखाद्या शाखेतील प्रेरणेने विकसित झालेले गणित इतर शाखांमध्येही उपयोगी पडते आणि गणितातील विविधोपयोगी भव्य कोठाराचा भाग बनते. अगदी शुद्धतम गणिताचासुद्धा उपयोजित शाखांमध्ये कुठे ना कुठे उपयोग होतोच. या अद्भुत सत्याला स्तिमित होऊन यूजिन विगनर या भौतिकीतील शास्त्रज्ञाने गणिताची अतर्क्य कार्यक्षमता (Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences इंग्रजी दुवा) असे संबोधले आहे.
ज्ञानाच्या इतर शाखांप्रमाणेच गणिताच्या देदीप्यमान विकासामुळे त्यांतही वैशेषीकरण झाले आहे. मुळात शुद्ध गणित आणि उपयोजित गणित या दोन प्रमुख शाखा होत्या. आता मात्र, गणिताच्या नाना उपयोजित शाखांचा गणिताबाहेरील परंपरांशी संगम होऊन सांख्यिकी, क्रियन संशोधन आणि संगणन विज्ञानासारख्या अनेक नवीन विषयांची निर्मिती झाली आहे.
अनेक गणिती, गणिताच्या नेटकेपणाबद्दल म्हणजेच त्याच्या कलात्मक आणि उस्फूर्त सौंदर्याबद्दल बोलतात. गणिताच्या साधेपणाला आणि व्यापकत्वाला विशेष महत्त्व दिले जाते. चतुरपणे मांडलेली सिद्धता (उदाहरणार्थ, जसे मूळ संख्या अनंत असल्याची युक्लिडची सिद्धता) किंवा आकडेमोड सोपी करण्याच्या पद्धती (जसे चपळ फोरियर रूपांतर) यांतही सौंदर्य आहे. जी. एच. हार्डीने "एका गणितीचे वक्तव्य" या आपल्या पुस्तकात म्हटले आहे की सौंदर्याचे हे निकषच शुद्धगणिताचा अभ्यास करण्यासाठी पुरेसे आहेत. नेटक्या प्रमेयांच्या सिद्धता शोधण्यासाठी गणिती विशेष प्रयत्न करतात. पॉल इरडॉजने या प्रकारास "देवांच्या गणितविषयावरील आवडत्या पुस्तकातील प्रमेयांचा शोध" असे म्हटले आहे. बऱ्याच लोकांना गणिती समस्या उकलण्यास आवडते. अशानेच गणिताचे रंजकत्व आणि लोकप्रियता समजते कि ज्यामुळे गणिताची भीती कमी होण्यास मदत होईल.

नोटेशन, भाषा आणि तर्काधिष्ठता

गणितात हल्ली वापरल्या जाणाऱ्या नोटशनपैकी काहीच सोळाव्या शतकापर्यंत शोधले गेले होते. त्या आधी गणित हे केवळ शब्दांत व्यक्त केले जात असे. शब्दांच्या बोजडपणामुळे गणिताचा फारसा विकास होऊ शकलेला नव्हता. आधुनिक नोटेशनमुळे तज्ज्ञांसाठी गणित सोयीचे, परंतु, नवशिक्यासाठी अधिक क्लिष्ट झाले आहे. आधुनिक नोटेशन अतिशय संक्षिप्त आहे. मोजक्याच मुळाक्षरांमध्ये प्रचंड माहिती देता येते. पाश्चात्य संगीताच्या नोटेशनप्रमाणेच गणिताच्या नोटेशनचे कडक नियम असून ते नोटेशन ज्या प्रकारची माहिती लिखित रूपात सांगते, ती इतर कोणत्याही पद्धतीने व्यक्त करणे जवळजवळ अशक्यच आहे.
नवशिक्यांसाठी गणिताची भाषासुद्धा अंमळ क्लिष्टच आहे. अगदी, किंवा-केवळ सारख्या साध्यासुध्या शब्दांनाही गणितात दैनंदिन व्यवहारापेक्षा अधिक नेमका अर्थ असतो. तसेच ‘उघड’ आणि १क्षेत्र’, सारख्या कित्येक शब्दांना गणितात विशेष अर्थ असतो. गणितात सारणिक आणि कलनीय अशा तांत्रिक संज्ञाही आहेत. या विशेष नोटेशन आणि तांत्रिक संज्ञांमागे एक मोठेच कारण आहे. ते म्हणजे, गणिताला दैनंदिन व्यवहारातील बोलीपेक्षा अधिक नेमकेपणा लागतो. भाषेच्या आणि तर्काच्या या नेमकेपणास गणिती "काटेकोरपणा" म्हणतात.
मूलतः काटेकोरपणा हे गणितातील सिद्धतांसाठी आवश्यक आहे. शिस्तबद्ध कार्यकारणभाव लावून मूळ वाक्यांपासून प्रमेये सिद्ध करण्याची गणितींची इच्छा असते. अंतःप्रेरणा आयत्या वेळेस दगा देऊ शकते. त्यामुळे चुकीचे सिद्धान्तही मांडले जाऊ शकतात. गणिताच्या इतिहासात असे अनेक वेळा झालेही आहे. हे टाळण्यासाठी काटेकोरपणा पाळावाच लागतो. हा काटेकोरपणा काळानुसार कमी-अधिक झालेला आहे.
ग्रीकांच्या काळी सिद्धतांचे मुद्दे विस्तृत रितीने मांडण्यावर भर होता. न्यूटनच्या काळी काटकोरपणा त्या मानाने कमी होता. न्यूटनने वापरलेल्या व्याख्यांमधील कच्च्या दुव्यांमुळे १९ व्या शतकात काळजीपूर्वक विश्लेषण आणि औपचारिक सिद्धतांचा पुन्हा उदय झाला. संगणकाच्या मदतीने लिहिलेल्या सिद्धता वापरल्या जाव्यात अथवा नाही यावर आजच्या गणितींमध्ये मतभेद आहेत. अतिभव्य आकडेमोडींचा पडताळा करणे अत्यंत अवघड असल्याने अशा प्रकारच्या सिद्धान्तांमध्ये अपेक्षित काटेकोरपणाचा अभाव असू शकतो. परंपरेच्या दृष्टीने मूलवाक्ये ही स्वयंप्रकाशित तथ्ये होती. परंतु, पुढेपुढे ती तथ्ये जशीच्या तशी मानण्यात बऱ्याच व्यावहारिक अडचणी असल्याचे लक्षात आले. औपचारिक दृष्टीने पाहता, ज्याचा मूळ अर्थ त्या-त्या मूळवाक्याच्या विधिविधानातील सूत्रांच्या संदर्भातच असतो असे मूलवाक्य म्हणजे चिन्हांनी बनलेले केवळ एक नाम असते,
सगळ्याच गणितास मूलवाक्याच्या आधाराने सिद्ध करणे हे हिलबर्टच्या आज्ञावलीचे उद्दिष्ट होते. परंतु गोडेलच्या अपूर्णतेच्या सिद्धान्तानुसार कुठल्याही यथोचित मूळ वाक्यांच्या विधिविधानात सिद्ध न करता येण्याजोगी सूत्रे असतातच. त्यामुळे गणिताचे संपूर्ण मूलवाक्यायन अशक्य आहे. इतके असले तरी गणित हे कुठल्यातरी संच सिद्धांतातील (संचप्रवादातील) मूळवाक्यायन आहे असे समजले जाते. या दृष्टीने पहाता प्रत्येक गणिती वाक्य किंवा सिद्धान्त हा संचसिद्धान्तातील सूत्रांच्या रूपात मांडला जाऊ शकतो.

गणितातला "पाय" π)

याबद्दलचा विस्तृत लेख येथे आहे.
ग्रीक भाषेतले अक्षर "पाय" "पाय x व्यासाची लांबी = परीघाची लांबी" ह्या वर्तुळासंबंधित समीकरणात रूढीने वापरण्यात येते आणि त्यात
पायची किंमत जवळ जवळ ३.१४१५९ आहे.

फर्माचे "शेवटचे प्रमेय"

पिएर फर्मा (इ.स. १६०१ -१६६५) हे एक बुद्धिमान फ्रेंच गणिती होते. वास्तविक कायदेशास्त्राच्या शिक्षणानंतर ते सरकारी नोकरीत
वकिलीचा व्यवसाय करत असत, पण गणितशास्त्राचा अभ्यास हा त्यांचा आवडता छंद होता. " क्ष^न₊ य^न₌ ज्ञ^न "
ह्या 'साध्यासरळ' समीकरणात 'न' ह्या घाताची किंमत २ हून अधिक असा कुठलाही पूर्णांक असेल तर त्या समीकरणाचे समाधान करणाऱ्या 'क्ष', 'य', आणि 'ज्ञ' ह्या अव्यक्तांच्या पूर्णांकात कोणत्याही किंमती नाहीत" असे एक प्रमेय आपणच मांडून "त्या प्रमेयाची एक खास सिद्धता मी शोधून काढली आहे, पण ह्या पानावरची (छापील मजकुराभोवतीची) समासाची जागा ती सिद्धता लिहायला अपुरी आहे" असेही फर्मॅटनी एका गणिताच्या पुस्तकात लिहून ठेवले होते!
फर्मा ह्यांच्या निधनानंतर हे प्रमेय "फर्माचे शेवटचे प्रमेय" ह्या नावाने गणितशास्त्रात प्रसिद्धीला आले. सुमारे ३३० वर्षे ते प्रमेय सिद्ध करण्याचे किंवा ते चूक असल्याचे सिद्ध करायचे जंगी प्रयत्‍न अनेक बुद्धिमान गणितज्ञांनी केले, पण त्या प्रदीर्घ काळात कोणालाही त्यात यश मिळाले नव्हते! सरतेशेवटी आंड्र्यू वाइल्स ह्या ब्रिटिश गणितज्ञाने अनेक वर्षांच्या भगीरथ प्रयत्‍नाने १९९४ साली ते प्रमेय अचूकपणे सिद्ध केले! काही काही लोकोत्तर बुद्धिमंतांच्या वेगवेगळ्या ज्ञानशाखांमधल्या अशा प्रचंड भराऱ्या पाहण्यात परमेश्वरदर्शन घडते.
पिएर फर्मा, रेने देकार्त, आणि ब्लेस पास्कॅल हे तीन श्रेष्ठ फ्रेंच गणिती समकालीन होते.

प्रसिद्ध गणिती

• आर्यभट्ट
• पिएर फर्मा
• रेने देकार्त
• ब्लेस पास्कॅल
• कार्ल फ़्रिडरीश गाऊस
• लिओनार्ड ऑइलर
• बर्नार्ड रिमान
• आंड्र्यू वाइल्स
• पायथागोरस
• हिरो
• रामानुजन
• 
  

भारतीय गणितज्ञ

• बौधयाना (७०० B.C.)
• आपस्तम्ब (६०० B.C.)
• पाणिनी (५०० B.C.)
• ऊमास्वाति (१५० B.C.)
• पहिला आर्यभट्ट (४७६- ५५० A.D.)
• वराहमिहिर (ca. ५०५-५५८)
• ब्रह्मगुप्त (ca. ५९८-६७०)
• गोविंदस्वामि (ca. ८००-८५०)
• महावीर (महवीराचार्य) (८५०)
• प्रुथुदाकस्वामि (८५०)
• श्रिधर (९००)
• मन्जुल (९३०)
• आर्यभट्ट II (९५०)
• प्रशस्तिधर (इ.स. ९५८)
• हलायुध (इ.स. ९७५)
• जयदेव (इ.स. १०००)
• श्रिपति (इ.स. १०३९)
• हेमचन्द्र सुरी (इ.स. १०८९)
• भास्कराचार्य(भास्कर) (इ.स. १११४-११८५)
• कांगदेव (इ.स. १२०५)
• माधव (संगमग्राम) (१३४०-१४२५)
• नारायम पंडित (इ.स. १३५०)
• परमेश्वर (१३६०-१४५५)
• निळकंठ सोमयजि (१४५५-१५५५)
• शंकर वरीआर (१५००-१५६०)
• नारायण (१५००-१५७५)
• ज्येष्ठदेव (इ.स. १५५०)
• अच्युत पिसरति (१५५०-१६२१)
• पुतुमान सोमयाजी (१६६०-१७४०)
• जगन्नाथ पंडित (इ.स. १७००)
• शंकर वर्मन (इ.स. १८००)

आर्यभट

 

आर्यभट

आर्यभट (जन्म - इ.स. ४७६, पाटलीपुत्र; मृत्यु - इ.स. ५५०) हे भारताचे एक महान खगोलशास्त्रज्ञ, गणितज्ञ व भारतीय खगोलशास्त्राचे प्रणेते होते. त्यांनी वयाच्या अवघ्या २१व्या वर्षीच आर्यभट्टीय हा ग्रंथ लिहिला. आर्यभट्ट यांचे बालपण व उर्वरित आयुष्यकाळ पाटलीपुत्र ह्याच नगरीत गेले. खगोलशास्त्रज्ञ म्हणून आर्यभटाचे कर्तृत्व असामान्य आहे.

अनुक्रमणिका

• १ आर्यभटीय ग्रंथ
• २ आर्यभटीय ग्रंथाची भाषा
• ३ भारतीयांची दशमानपद्धती
• ४ आर्यभट व टॉलेमी
• ५ आर्यभटाचे वर्षमान
• ६ आर्यभटाची सूर्यमालेविषयाची कल्पना

आर्यभटीय ग्रंथ

आज उपलब्ध असलेल्या भारतीय खगोलशास्त्रीयग्रंथात पहिल्या आर्यभटाच्या 'आर्यभटीय' किंवा 'आर्यसिद्धांत' ह्या ग्रंथाहून दुसरा प्राचीन ग्रंथ नाही. 'आर्यभटीय' हे नाव त्याला आर्यभटानेच दिले आहे. आर्यभटाचे शिष्य वराहमिहीर, लल्ल वगैरे त्यास 'आर्यसिद्धांत' म्हणून संबोधायचे.
'आर्यभटीय' ग्रंथात 'दशगीतिका' व 'आर्याष्टशत' असे दोन भाग आहेत. हे दोन भाग निरनिराळे ग्रंथ आहेत असे काही तज्ज्ञांचे मत आहे. परंतु हे दोन्ही भाग एकमेकांवर अवलंबून असल्यामुळे दोन्ही मिळून एकच सिद्धांत मानणे सयुक्तिक होय. त्याचे चार पाद असून त्यात अवघे एकशे एकवीस श्लोक आहेत.
दशगीतिका भागात तेरा श्लोक असून त्यातील तीन प्रार्थनापर आहेत. उर्वरित दहा श्लोकांत ग्रहभगणासंबंधीचे विवेचन आहे. (भगण म्हणजे ग्रहांची नक्षत्रमंडळातून एक पूर्ण प्रदक्षिणा) ह्या ग्रंथाचे चार पाद असे : १) गीतिका पाद, २) गणितपाद, ३) कालक्रियापाद, ४) गोलपाद.
गीतिकापादात अक्षरांच्या आधारे संक्षेपात संख्या लिहिण्याची स्वनिर्मित पद्धती अवलंबलेली आहे. खगोलशास्त्र किंवा गणित श्लोकबद्ध लिहावयाचे असेल तर ही गोष्ट आवश्यक असते. गणितपादात अंकगणित, बीजगणित, रेखागणित ह्यांचे सूत्ररूप नियम अवघ्या तेहतीस श्लोकात समाविष्ट केलेले आहेत. संख्यालेखन, बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार, वर्ग, घन, वर्गमूळ, घनमूळ, त्रिकोण, चौकोन, वर्तुळ ह्याचे विवेचन त्यात असून त्रिभुज, वृत्त व अन्य क्षेत्रे ह्यांचे क्षेत्रफळ, घनफळ, भुज ज्या साधन व त्या संबंधीचा विचार, गणितश्रेणी, वर्गश्रेणी, त्रैराशिक पद्धती, बीजगणित पद्धती, विविध कुट्टके असे अनेक विषय आहेत. कालक्रियापादात कालगणना, युगे, कालविभाजन, ग्रहांची मध्यम व स्पष्ट गती वगैरेंचा समावेश आहे.
आर्यभटाने 'आर्यभटीय' ग्रंथाची रचना वयाच्या अवघ्या तेविसाव्या वर्षी केली. यावरून त्याच्या कुशल बुद्धिमत्तेची व प्रतिभेची कल्पना येऊ शकेल. आर्यभटीय ग्रंथ संक्षिप्त असला तरी त्याची रचनापद्धती अत्यंत सुसंबद्ध व शास्त्रीय असून त्याची भाषा अत्यंत सुस्पष्ट व अचूक आहे. आर्यभटाचे सिद्धांत प्रत्यक्षात अनुभवास येतात काय? ह्या प्रश्नाचे उत्तर होय असेच द्यावे लागते. दृक्प्रत्ययावरून देखील आर्यभटाची योग्यता फार मोठी आहे, हे पटते. आर्यभटानंतरच्या खगोलविदांनी त्यांच्या ग्रंथरचनेतील भाग आपल्या विवेचनासाठी घेतला. अल्बेरुणीने अरबी भाषेत हे ज्ञान या ग्रंथावरूनच नेले. डॉ. केर्न ह्यांनी १८७५ मध्ये हॉलंड देशात लेडेन येथे ह्या सिद्धातावर टीकाग्रंथ लिहिला. भारतात सूर्ययज्वनाने लिहिलेली टीका विशेष प्रसिद्ध आहे. बृहत्संहिता टीकेत उत्पलाने 'आर्यभटीय' ग्रंथातील अवतरणे घेतलेली आहेत.

आर्यभटीय ग्रंथाची भाषा

आर्यभटीय ग्रंथ व त्या पूर्वीचे खगोलशास्त्रीय ग्रंथ ह्यांच्या भाषेत फरक आहे. आर्यभटाने आपल्या आर्यभटीय ग्रंथात संख्यादर्शनासाठी पूर्वीप्रमाणे भू = १, राम = ३ अशा शब्दांचा वापर केलेला नाही तर अक्षरांचा वापर केलेला आहे. आर्यभटाने एका सूत्रात सर्व संख्या क्रमशः स्थानापरत्वे दसपट होतात असे सांगितले आहे. त्याशिवाय त्याने विशिष्ट अक्षरांना ठरावीक किंमत व स्वरांना ठरावीक स्थाने देऊन सर्व संख्या अक्षरलिपीत लिहिण्याची सोय केलेली आहे.
वर्गाक्षराणी वर्गे ऽ वर्गे ऽ वर्गाक्षराणी कात ङ मौ यः । खद्विनवके स्वरा नववर्गे ऽ वर्गे नवान्त्यवर्गे वा ॥
एकं, शतं, दशसहस्त्र, दशकोटी, खर्व, महापद्म, जलाधी, मध्य ही वर्गस्थाने समजावीत व त्या ठिकाणी क, ख, ग, ------ पासून प, फ, ब, भ, म पर्यंत अक्षरे म्हणजे क, च, ट, त, प वर्गातील अक्षरेच घालावीत व त्यांच्या किंमती क = १, क = २ ते म = २५ अशा समजाव्यात. दशसहस्त्र, लक्ष, कोटी, अब्ज, निखव, शंकू, अंत्य, परार्ध ही अ वर्गस्थाने समजावीत. ह्या य पासून ह पर्यंतची अक्षरे घालून त्यांच्या किंमती ३० पासून ते १०० पर्यंत समजाव्यात.
याचे अधिक स्पष्टीकरण पुढीलप्रमाणे : अ = १ इ = १०० उ = १०००० ऋ = १०००००० लू = १००००००००० - ए = १०००००००००० - ऐ = १०००००००००००० - ओ = १०००००००००००००० - औ = १००००००००००००००००
- क = १ - ख = २ - ग = ३ - घ = ४ - ड = ५ - च = ६ - छ = ७ - ज = ८ - झ = ९ - ञ = १० - ट = ११ - ठ = १२ - ड = १३ - ढ = १४ - ण = १५ - त = १६ - थ = १७ - द =१८ - ध =१९ - न =२० - प = २१ - फ = २२ - ब = २३ - भ = २४ - म = २५ - य = ३० - र = ४० - ल = ५० - व = ६० - श = ७० - ष = ८० - स = ९० - ह = १०० -

भारतीयांची दशमानपद्धती

आर्यभटाची ही अक्षरांक परिभाषा वैशिष्ट्यपूर्ण अशी आहे. आजच्या दशमानपद्धतीचा आढळ त्यामध्ये दिसून येतो. आज जगमान्य झालेली अंकपद्धती ही दशमानपद्धती म्हणून ओळखली जाते. ह्या पद्धतीमध्ये स्थानापरत्वे अंकाची किंमत बदलते. उजवीकडून डावीकडे जी स्थाने असतात त्यांची किंमत दसपटीने वाढत जाते. आर्यभटाच्या पूर्वीपासून ही पद्धत भारतात रुढ असावी. ग्रीक व रोमन संख्यादर्शनासाठी अक्षरलिपी वापरीत. त्यामूळे युरोपात अंकगणिताचा विकास मंदावला. भारतात दशमानपद्धतीच्या वापरामूळे तसेच अंकांना दहा चिन्हे वापरून संख्या लिहिली गेल्याने बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार अधिकाधिक सुकर करणे शक्य झाले.
अक्षरांनी संख्या दर्शविण्याच्या विविध पद्धती आर्यभटच्या काळात रुढ होत्या. त्यांना कटपयादी असे म्हटले जाते. थोडक्यात संख्या दाखविण्यासाठी ही परिभाषा कितीही उपयुक्त असली तरी पुनरावृत्तीत तिच्यामुळे ग्रंथात चूका होण्याचा संभव वाढतो व कालांतराने ग्रंथाची उपयुक्तता, मेळ न बसल्यामुळे कमी होते.

आर्यभट व टॉलेमी

टॉलेमी व त्याच्या पूर्वीचे ग्रीक खगोलशास्त्रज्ञ ह्यांना भुज ज्या ( sines ) ठाऊक नव्हत्या. हे खगोलशास्त्रज्ञ ज्या ( chords ) चा उपयोग करीत असत. आर्यभटीय ग्रंथावरून असे दिसून येते की इ.स. ५०० मध्ये भारतीयांना भुज ज्यांची पूर्ण कल्पना होती. आर्यभटाने ० अंशापासून ते ९० अंशापर्यंत ३१११ अंशाच्या फरकाने सर्व कोन घेऊन त्यांचे ज्यार्ध कसे काढावेत हे सांगितलेले आहे. त्यात ९० अंशाची भुज ज्या जी १ त्यांची किंमत ३४३८ धरून त्या प्रमाणात ३१११०, ७११०, १११० ह्या प्रमाणे ९० अंशापर्यंतच्या कोनाच्या भुज ज्या २२५, २२५+२२४, २२५+२२४+२२२ ह्या प्रमाणात असल्याचे प्रतिपादन केले आहे. प्रो व्हिटन ह्या पाश्चात्य पंडिताने आर्यभटाने ही टॉलेमीची उसनवारी केली असल्याचे म्हटले आहे, पण त्यात काही तथ्य नाही. टॉलेमीच्या कोष्टकात काटकोनाचे साठ भाग धरून चाप घेतलेले आहेत. तर आर्यभटाने काटकोनाचे ३४३८ भाग कल्पून अर्ध ज्या काढल्या आहेत, तेव्हा आर्यभटाने केवळ भुज ज्या उसनवारी घेतल्या असतील असे म्हणणे अन्यायाचे आहे. आर्यभटाच्या संदर्भात आणखी एक गोष्ट वैशिष्ट्यपूर्ण गोष्टीचा उल्लेख केला पाहिजे. वृत्ताचा व्यास व परिघ ह्यांचे गुणोत्तर [ π ] ह्या अक्षराने दर्शवितात. त्याची किंमत पूर्णपणे व्यक्त कर्ता येत नाही. ती अंदाजे ३. १४१६ अथवा २२/७ असे आपण म्हणतो. आर्यभट ची किंमत ६२८३२/२००० एवढी देतो. म्हणजे आर्यभटाने ती ३.१४१६ एवढी सूक्ष्म दिलेली आहे. गणितपादात त्याने २००० व्यासाचा परिघ ६२८३२ सांगितला आहे व तो ही त्याच्या मते जवळजवळ असा आहे.
टॉलेमीने मानलेली संपातगती ( वर्षास ३६ विकला ) गृहीत धरून पाश्चात्य पंडित टॉलेमीची माने काढतात. ह्या मानांचे भारतीय सिद्धान्तातील मानाशी मुळीच साम्य नाही. त्यावरून आर्यभटीय ग्रंथातील ग्रहगती-स्थिती स्वतंत्र आहे असे म्हणता येते.

आर्यभटाचे वर्षमान

आर्यभटीय ग्रंथाच्या दर्शगीतिका विभागात ग्रहभगणाआदी माने आहेत. ग्रहगतिभगणांची मूळ सूर्य सिद्धान्तातील ग्रहगतिभगणांशी तुलना केली असता आर्यभटाने गुरू व बुध वगळता अन्य ग्रहांचे भगण मूळ सूर्यसिद्धांताप्रमाणेच घेतले आहेत. बुधाचे वीसने अधिक असून गुरुचे चारने अधिक आहेत. आर्यभटाची युगपद्धती अन्य सिद्धान्ताहून काहीशी भिन्न आहे. आर्यभटाचे महायुग ४३,२०,००० वर्षांचे इतरांसारखेच आहे. परंतु त्याच्या मते महायुगाचे प्रारंभी सर्व ग्रह एकत्र असतात आर्यभटाच्या सिद्धान्ताप्रमाणे वर्षमान ३६५ दिवस, १५ घटिका, ३१ पळे, १५ विपळे एवढे आहे. हे मान मूळ सूर्यसिद्धान्तापेक्षा १० विपळानी कमी आहे व आजच्या युरोपीय मानाच्या तुलनेत ७ पळे अ १८. १३ विपळे ३ मिनिटे १९१ सेकंद एवढे जास्त आहे. सूर्यसिद्धान्त व आर्यसिद्धांत यात फरक पडण्याचे कारण सूर्यसिद्धान्तात कलियुगाचा आरंभ गुरुवारी मध्यरात्री असून आर्यभटाने तो शुक्रवार सूर्योदयी मानलेला आहे.

आर्यभटाची सूर्यमालेविषयाची कल्पना

आर्यभटाने 'आर्यभटीय' ग्रंथात सूर्यमालेविषयी कल्पना मांडलेली आहे ती अशी :
'विश्वाच्या मध्यभागी पृथ्वी एखाद्या चेंडूसारखी लोंबत आहे. ती तारामंडळाच्या वर्तुळकेंद्राजवळ आहे. पृथ्वीभोवती ग्रहांच्या कक्षा आहेत. कदंब पुष्पात ज्याप्रमाणे मध्ये गोल असून त्यात सर्व बाजूंनी पुष्पतंतू चिकटलेले असतात. त्याप्रमाणे पृथ्वीगोलास सर्व बाजूंनी प्राणी चिकटलेले आहेत. '
आर्यभटाला पृथ्वीच्या दैनंदिन गतीची कल्पना होती. पृथ्वी स्थिर नसून ती परिवलन करते ही कल्पना पाश्चात्यांना उशिरा आली. आर्यभटाने गोलपाद अध्यायात ह्या कल्पनेचे स्पष्टीकरण एका सुंदर उदाहरणाद्वारे केले आहे ते असे :
अनुलोमगतीनौंस्थः पश्चत्यचलं विलोमगं यद्वत । अचलानि भानी तद्वत्समपश्चिमगानि लङ्कायाम ॥
'नदीच्या प्रवाहाच्या दिशेने जाणाऱ्या नावेवरील माणसास ज्याप्रमाणे काठावरील डोंगर, टेकडी किंवा स्थिर वस्तू प्रवाहाच्या उलट दिशेने मागे जात आहेत असे वाटते. त्याचप्रमाणे लंकेतील ( विषुववृत्तावरील ) मनुष्यास नक्षत्रे स्थिर असूनही पूर्वेकडून पश्चिमेकडे सारख्याच गतीने जात आहेत असे वाटते. '
श्रीपती ( जन्म इ.स. १०३९ ) ह्याने आर्यभटाच्या पृथ्वी फिरते ह्या कल्पनेचे खंडन केले आहे. त्याने पृथ्वी स्थिरच आहे असे आवर्जून सांगितले. ती स्थिती आहे म्हणूनच पक्षी घरट्यातून बाहेर गेल्यानंतर परत घरट्यात येऊ शकतात. मेघही विशिष्ट ठिकाणी जलवर्षाव करू शकतात. पृथ्वी गतिमान असती तर असे घडू शकले नसते. फिरणार्‍या पृथ्वीसमवेत घरटी व स्थळे पुढे निघून गेली असती. असे श्रीपतीने प्रतिपादन केले.
आर्यभटावर टीका करणारे जसे निघाले तसे त्याचे समर्थकही होते. पृथूदक स्वामी (जन्म इ.स. ८६०) ह्याने आर्यभटाच्या कल्पनेचा पुरस्कार केला :

भास्कराचार्य

भारत देशात भास्कर नावाचे दोन गणिती होऊन गेले...पहिले भास्कर इ.स.५५० मधे जन्मले अणि इ.स.६२८ मध्ये त्यांचा देहान्त झाला. सिद्धान्तशिरोमणी लिहिणारे हे भास्कर नव्हेत. हे भास्कर, भास्कर-१ किंवा भास्कराचार्य-१ म्हणून ओळखले जातात.
'सिद्धान्तशिरोमणि' अणि 'लीलावती' लिहिणारे भास्कर (भास्कराचार्य द्वितीय) इ.स. १११४ मधे जन्माला आले. ११४४ मध्ये त्यांनी ‘सिद्धांतशिरोमणी’ हा ग्रंथ लिहिला. त्या ग्रंथाची चार पुस्तके आहेत, ती अशी :
१ले. लीलावती (अंकगणितावरचे पुस्तक)
२रे. बीजगणित
३रे. गणिताध्याय
४थे. गोलाध्याय
‘मोजमापन’ संदर्भातील अभिनव पद्धती, विभिन्न एकके आणि यंत्रे यांची महत्त्वपूर्ण माहिती ‘सिद्धांतशिरोमणी’मध्ये आढळते. लोक त्यांच्या सिद्धान्तशिरोमणी या ग्रंथाबद्दल मजेने असे म्हणायचे की सिद्धान्तशिरोमणी वाचून तुम्ही एखाद्या झाडावर किती पाने आहेत तेसुद्धा सांगू शकता. यावरून त्याच्या ग्रंथाची महानता समजून येते. त्यांच्या बीजगणित या ग्रंथाची आजपर्यंत सर्वात जास्त भाषांमध्ये भाषांतरे झाली आहेत. 'बीजगणित' या ग्रंथामध्ये भास्कराचार्यानी दिलेल्या अत्यंत कठीण अशा सूत्रांवरून आपल्याला त्यांच्या अफाट बुद्धिमत्तेची कल्पना येते. गणिताची मनापासून आवड असलेले लोक या ग्रंथांचा अभ्यास करतात.
कलनशास्त्राशिवाय गोलाचे घनफळ आणि पृष्ठफळ मोजण्याची रीतही भास्कराचार्यांनी सांगितली आहे. चिकणमातीचा गोल, त्या गोलाइतकाच व्यास आणि उंची असलेल्या पंचपात्रात चेपून बसवला, तर पंचपात्राचा १/३ भाग रिकामा राहतो. म्हणजेच गोलाचे घनफळ पंचपात्राच्या घनफळाच्या २/३ भाग भरणार. पृथ्वीचा परीघ मोजण्याची भास्कराचार्याची पद्धतही अभिनव आहे. एका रेखांशावरील दोन शहरातले अंतर आणि त्यांच्या अक्षांशमधला फरक या गुणोत्तरास ३६०ने गुणल्यास पृथ्वीचा परीघ मिळेल, असे ते सांगतात.
खगोलशास्त्रीय निरीक्षणासाठी वापरल्या जाणार्‍या यंत्रांची माहिती भास्कराचार्य ‘यंत्राध्याय’ प्रकरणात दिली आहे.. ‘गोलयंत्र’ हे शैक्षणिक साधन, नाडीवलय म्हणजे सूर्यघडय़ाळ, सूर्याचा उन्नतांश काढण्यासाठी चक्र, चाप आणि तुरिया यंत्रे, तसेच भास्कराचार्यानी खास प्रयत्‍नपूर्वक बनवलेले फलक यंत्र, वस्तूची उंची शोधण्यासाठी धीयंत्र अशासारख्या यंत्रांच्या रचना व कार्यपद्धती या प्रकरणात आहेत.
तांत्रिक गुंतागुंत नसलेली साधी यंत्रे आणि कल्पक गणितीपद्धती वापरून मोठे शोध लावणारा हा एक भारतीय प्रतिभावंत शास्त्रज्ञ होता.

भास्कराचार्यांनी सांगितलेली मापे

भास्कराचार्यांच्या 'सिद्धांतशिरोमणी'मधला ‘लीलावती' हा प्रथम खंड ६००हून अधिक वर्षे भारतभर पाठ्यपुस्तक म्हणून अभ्यासला गेला. त्यातले पहिलेच प्रकरण ‘परिभाषा, म्हणजेच तत्कालीन एकके व त्यांची कोष्टके यांसंबंधी आहे. त्यांतली काही कोष्टके :-
अंतर मोजण्यासाठी, आठ यवांचे (एकमेकांना टेकवलेल्या आठ जवसाच्या दाण्यांचे) एक अंगुळ, २४ अंगुळांचा एक हात, चार हातांचा एक दंड, २००० दंडांचा एक कोस - ही एकके भास्कराचार्यांनी सांगितली आहेत.
घनफळासाठी ‘खारीचा १६वा भाग द्रोण, द्रोणाचा ४था भाग आढक, आढकाचा चौथा हिस्सा प्रस्थ आणि प्रस्थाचा चौथा भाग कुडव; म्हणजेच,
४ मुष्टी (मुठी) = १ निष्टिका
२ निष्टिका = १ अष्टिका
२ अष्टिका = १ कुडव
४ कुडव= १ प्रस्थ
४ प्रस्थ = १ आढकी
४ आढकी = १ द्रोण
१६ (कधीकधी २०) द्रोण = १ खार (कैली)
शिवाय ‘गुंजा, मासा, कर्ष, पल ही सोने तोलण्याची एकके होती.
भास्कराचार्यांच्या ग्रंथाप्रमाणे,
५ गुंजा = १ मासा
१६ मासे = १ तोळा (कर्ष)
४ कर्ष = १ पल
पुढे पेशवाईत या कोष्टकात थोडा बदल झाला, तो असा :-
८ गुंजा= १ मासा
१२ मासे = १ तोळा
८० तोळे= १ पक्का शेर
भास्कराचार्यांनी दिलेली कवड्या-काकिणी-पण-द्रम्म’ ही चलनातील नाणी अशी होती :-
२० कवड्या = १ काकिणी ( दमडी)
४ दमड्या = १ पण (पैसा)
४ पण = १ द्रम्म (पावली-चार आणे)
गणिताध्याय या तिसर्‍या खंडात कालमापनाची एकके आहेत. पापणीच्या उघडझापीचा कालावधी म्हणजे ‘निमिष’, निमिषाचा ३०वा भाग ‘तत्पर’ आणि तत्पराचा १००वा भाग ‘त्रुटी’ हे कालाचे अतिसूक्ष्म एकक भास्कराचार्यानी ग्रहांची तात्कालिक गती काढण्यासाठी वापरले आहे.
कुट्टक पद्धती चा सखोल वापर केला.
चक्रवाल पद्धतीने महत्वाची समीकरणे

श्रीनिवास रामानुजन

श्रीनिवास रामानुजन
श्रीनिवास रामानुजन
पूर्ण नाव	श्रीनिवास रामानुजन अय्यंगार
जन्म	डिसेंबर २२, १८८७ एरोड, मद्रास प्रांत, ब्रिटिश भारत
मृत्यू	एप्रिल २६, १९२० मद्रास, ब्रिटिश भारत
निवासस्थान	कुंभकोणम
नागरिकत्व	भारतीय
धर्म	हिंदू
कार्यक्षेत्र	गणित
प्रशिक्षण	ट्रिनिटी कॉलेज, केंब्रिज, युनायटेड किंग्डम
डॉक्टरेटचे मार्गदर्शक	जी.एच्.हार्डी
ख्याती	लांडाउ-रामानुजन स्थिरांक, रामानुजन मूळ संख्या, रामानुजन थीटा फंक्शन
वडील	के. श्रीनिवास
आई	कोमलताम्मा
पत्नी	एस. जानकीअम्मा

श्रीनिवास रामानुजन (डिसेंबर २२, १८८७:तंजावर - एप्रिल २६, १९२०) भारतीय गणितज्ञ होते.
रामानुजन हे अलौकिक गणिती होते. रामानुजन यांच्या ध्यानी-मनी-स्वप्नी सतत गणितच असे. झोपेतही बहुधा त्यांचा मेंदू गणिताचाच विचार करत असे. आणि म्हणूनच की काय कोण जाणे पण अनेकदा रामानुजन झोपेतून जागे होताच अतिशय अवघड अशी गणिती सूत्रे लिहून टाकत.

जन्म व संशोधन

या महान गणितज्ञाचा जन्म डिसेंबर २२, १८८७ रोजी तामिळनाडूतील तंजावर जिल्ह्यात तिरोड या गावी झाला. वयाच्या सातव्या वर्षापर्यंतच त्यांनी अभ्यासात एवढी प्रगती दाखवली की त्यांना कुंभकोणमच्या माध्यमिक शाळेत दाखल करण्यात आले. त्यांच्या असामान्य बुद्धिमत्तेमुळे त्यांना या शाळेत शिष्यवृत्तीही मिळाली. माध्यमिक शाळेत असतानाच ते अनेक प्रमेये आणि गणिती सिद्धान्त सांगत आणि ते ऐकून त्यांचे शिक्षकही चकित होत.

मृत्यु:१९१९ साली रामानुजन इंग्लंडमधून मायदेशी परत आले. त्यांच्या आयुष्याचे शेवटचे वर्ष हे अंथरूणालाच खिळून गेले. क्षयाची असाध्य व्याधी त्यांना जडली होती. वयाच्या अवघ्या तेहेतिसाव्या वर्षी – एप्रिल २७, १९२० रोजी हे महान गणितज्ञ हे जग सोडून गेले. त्यांच्या निधनाने केवळभारतीयांचीच नव्हे तर संपूर्ण गणितविश्वाचे नुकसान झाले.

सारंगापनी संनिधि रस्त्यावर, कुंभकोणम येथे रामानुजनच्या घर

"भारतीय गणितज्ञ" वर्गातील लेख

एकूण २२ पैकी खालील २२ पाने या वर्गात आहेत.

*

• भारतीय गणितज्ञ

आ

• आर्यभट
• पहिला आर्यभट्ट
• आसा

क

• नरेंद्र करमरकर
• दत्तात्रय रामचंद्र कर्पेकर
• आनंद कुमार

न

• मंगला नारळीकर
• विष्णु नारळीकर

ब

• बापूदेव सीताराम शास्त्री
• ब्रह्मगुप्त

भ

• भास्कराचार्य
• भास्कराचार्य द्वितीय

र

• एस.आर. रंगनाथन
• श्रीनिवास रामानुजन

व

• श्रीनिवास वरधन
• वराहमिहिर

श

• श्रीनिवास रामानुजम

स

• राधानाथ सिकदार
• सुभाष खोत

ह

• हरिश्चंद्र (गणिती)
• हरीश-चंद्र (गणितज्ञ)

भारतीय गणित व खगोलशास्त्र ह्यांचा आद्य प्रणेता अस वर्णन आर्यभटाचे करावे लागेल.